Il paradosso di Banach-Tarski, o paradosso di Hausdorff-Banach-Tarski è stato dimostrato per la prima volta da Stefan Banach e Alfred Tarski nel 1924. È il risultato noto come “raddoppiamento della sfera” (“doubling the ball”), con cui si stabilisce che, adoperando l’assioma della scelta,
è possibile prendere una sfera nello spazio a tre dimensioni, suddividerla in un insieme finito di pezzi non misurabili e, utilizzando solo rotazioni e traslazioni, riassemblare i pezzi in modo da ottenere due sfere dello stesso raggio della sfera originale.
ll paradosso mostra che non è possibile formulare una nozione di misura che, da una parte, si accordi con la classica nozione di volume e che, dall’altra, possa essere applicata a tutti i sottoinsiemi dello spazio.
Detto in altri termini: se della classica nozione di volume si vuole preservare la proprietà di invarianza roto-traslazionale, allora si deve rinunciare alla pretesa di misurare ogni sottoinsieme dello spazio, ovvero si deve accettare il fatto che esistano sottoinsiemi dello spazio per i quali la nozione di volume non è definita.
Difatti, il paradosso si spiega proprio con il fatto che alcuni dei pezzi in cui risulta suddivisa la prima sfera risultano essere insiemi ai quali la nozione di volume non può essere applicata, nonostante sia l’insieme di partenza (la prima sfera) sia quello d’arrivo (la coppia di sfere) abbiano invece un volume ben definito.
Conclusione irriverente ( ?) La misurazione è diversa dalla valutazione: quando si “raddoppiano le palle” bisogna “rassegnarsi ” al fatto che rimane un margine di “non corrispondenza”. La valutazione INVALSI si basa sulla “corrispondenza fra le sfere” e sulla loro “sovrapponibilità”, la valutazione dei docenti sul fatto che la “suddivisione della sfera” produce pezzi ai quali non può essere applicata la definizione di volume.
Quale margine accettabile di decidibilità intendiamo riservare alla valutazione dei docenti ? Quali variabili intendiamo metter in gioco? Sicuramente è possibile individuare un range di accettabilità: questa potrebbe essere un’ipotesi di ricerca. “I buoni matematici riescono a vedere le analogie. I grandi matematici riescono a vedere le analogie tra le analogie.” Aforisma che Stanisław Marcin Ulam, un altro matematico della Scuola matematica di Leopoli attribuisce, nella sua autobiografia, a Stefan Banach.
Ora, se sostituiamo buoni matematici con INVALSI e grandi matematici con docenti, assumendo che la capacità di vedere analogie tra le analogie è propria di intelligenze creative, risulta che per i docenti la “valutazione” è una scommessa o meglio ancora la conseguenza impossibile dell'”interruzione dell’immanenza” come presupposto di ogni relazione formativa (G.Biesta ” Riscoprire l’insegnamento” Cortina Editore)
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